La carrera profesional de Yaroslav Kvasov se extiende desde 2014 hasta 2026, un periodo de aproximadamente 12 temporadas en el que ha acumulado 180 partidos repartidos entre 7 clubes. Con 49 goles y 0 asistencias registradas en ese tramo, su trayectoria refleja una contribución sostenida al máximo nivel.
Su mejor temporada en términos de producción ofensiva llegó en 14/15 con el Sillamäe Kalev, cuando sumó 19 goles y 0 asistencias en 37 partidos, disputando 2899 minutos. Esa campaña marcó uno de los puntos más altos de su rendimiento.
En su temporada más reciente registrada (25/26) en el Podillya Khmelnytskyi, Yaroslav Kvasov disputó 22 partidos, anotando 0 goles y repartiendo 0 asistencias, con una valoración media de 6.50.
Entre los hitos destacados de su trayectoria, Yaroslav Kvasov ha superado la barrera de los 100 partidos profesionales.